Предельный переход под знаком несобственного интеграла

Собственные интегралы, зависящие от параметра

предельный переход под знаком несобственного интеграла

Предельный переход и дифференцирование под знаком интеграла в точке под знаком собственных и несобственных интегралов второго рода. Предельный переход и дифференцирование под знаком интеграла в точке под знаком собственных и несобственных интегралов второго рода. Определения. Понятие сходимости несобственных интегралов. ∞. ∫ a f(x)dx , b. ∫ a знака Коши: b2. ∫ b1 dx. 1+(x − y)2 e. −y yx−1dy чтд. 3) Осталось проследить последний предельный переход: lim n→∞ n.

Фактически, как и ранее, это параметрическое семейство несобственных интегралов. Множество параметров, при которых интеграл сходится, называется областью сходимости. Равномерная сходимость интеграла -го рода.

предельный переход под знаком несобственного интеграла

Здесь и далее пусть множество Y включено в области сходимости. Интеграл если B B, Y f, d сходится равномерно на множестве Y, f, d. Для сходимости семейства частных интегралов F, I при равномерно относительно параметров Y, необходима и достаточна равномерная сходимость в себе: Пусть f, g при Y и достаточно больших х, и при некотором интеграл g d сходится, тогда интеграл I сходится абсолютно и равномерно.

Согласно первому признаку сравнения для несобственных интегралов, указанный интеграл сходится абсолютно.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.

Поскольку при, Y имеет место оценка f, d g d, то, по критерию Коши, интеграл сходится равномерно. Рассмотрим f, d, интеграл в виде суммы: Поскольку p равномерно всюду. Для функции f, справедлива оценка, что d p, то исходный интеграл сходится абсолютно и Пример.

Поскольку f, e и интеграл e d, то интеграл сходится абсолютно и равномерно на луче [. Следовательно, он абсолютно сходится на полуоси. Поскольку интеграл g d сходится, то исходный интеграл сходится абсолютно и равномерно по признаку Вейерштрасса.

предельный переход под знаком несобственного интеграла

Равномерная ограниченность семейства функций F, означает существование константы K f, Y, д. Пусть функции f, g, определены при, Y и выполняются следующие условия:.

Функция f, непрерывна по, семейство функций F, равномерно ограничено; 2. Существует частная производная g, непрерывная по и знакопостоянная при д.

  • Научный форум dxdy
  • Интегралы, зависящие от параметра
  • Интегралы, зависящие от параметра. Несобственные интегралы с параметром

Семейство функций g, при равномерно относительно параметров Y. Тогда интеграл I сходится равномерно на множестве Y. Наконец, из условия g, следует, что для произвольного, при д.

предельный переход под знаком несобственного интеграла

Проверим выполнение условий критерия Коши равномерной сходимости для интеграла I. Итак, окончательно имеем, что fgd, по критерию Коши, интеграл I сходится равномерно.

Ясно, что признак Дирихле может быть применен к интегралам вида f, g d, f g, d. Оценим частные интегралы от функции 2 f: По признаку Дирихле, интеграл сходится равномерно.

Функция f непрерывна по, интеграл f, d сходится равномерно на множестве Y ; 2. Семейство функций g равномерно ограничено, существует непрерывная по частная производная g, и знакопостоянная при Y и д.

Предельный переход под знаком интеграла : Математика (общие вопросы)

Введем константу K g, обозначение для F, см. Снова интегрируем по частям отрезок интеграла: Тогда для правой части равенства можно записать: Ясно, что признак Абеля может быть применен к интегралам вида f, g d, f g, d.

В первом случае требуется ограниченность функции g, непрерывность и знакопостоянство ее обыкновенной производной. Во втором непрерывность функции f и сходимость интеграла f d.

Интегралы, зависящие от параметра

Если упомянутое условие выполнено, то прежде всего ясно существование предельной функции 2. Переходя затем к пределу в неравенстве 4 при у? Этим установлено равномерное стремление функции f x,y к предельной функции ц х. Тогда стремление это необходимо будет равномерным относительно х в промежутке Х.

предельный переход под знаком несобственного интеграла

Интегрируемость предельной функции уже известна. Формула 9 может быть записана в виде: При наличии ее говорят, что предельный переход по параметру допустим под знаком интеграла. Если функция при постоянном у непрерывна по х в [a,b] и при возрастании у стремится к непрерывной же предельной функции, монотонно возрастая, то справедлива формула 9.

предельный переход под знаком несобственного интеграла

Если функция определена и непрерывна как функция от двух переменных в прямоугольнике [a,b;c,d], то интеграл 1 будет непрерывной функцией от параметра у в промежутке [c,d]. В предложении существования частной производной Лейбниц дал для вычисления производной I? Если такая перестановка знаков производной по у и интеграла по х допустима, то говорят, что функция 1 можно дифференцировать по параметру под знаком интеграла.